Il significato geometrico della derivata

Fonte: https://magiedicioccolato.wordpress.com

Per capire il significato geometrico della derivata bisogna saper bene come trovare la tangente ad una curva in un suo punto:
Presa una curva ne fissiamo un punto P e quindi un altro punto P’ diverso da P e tracciamo la retta PP’ ora basta far scivolare P’ sulla curva verso P e quando P’ sara’ coincidente con P avremo la retta tangente alla curva in P (Ho tracciato delle semirette invece che rette per rendere piu’ semplice la figura)

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Definizione: si definisce tangente ad una curva in un punto la posizione limite della retta sottesa da una corda al tendere del secondo punto della corda sul primo

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Ora se riprendiamo la definizione di derivata, vedi che quando h tende a zero il secondo punto sulla curva si sposta verso il primo punto fino a coincidere
inoltre il rapporto incrementale e’ uguale al coefficiente angolare della retta che congiunge i due punti sulla curva.
Quindi, al limite, la derivata ed il coefficiente angolare della retta tangente alla curva devono coincidere cioe’:

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Definizione: la derivata di una funzione in un punto e’ uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto

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Veramente qui occorre fare una piccola precisazione: la tangente e’ sempre da una parte della curva mentre la derivata si trova su una corda della curva stessa: cioe’ la derivata e il coefficiente angolare della tangente differiscono per qualcosa, ma qualcosa di talmente piccolo (un infinitesimo) da non influenzare i calcoli; comunque torneremo sull’argomento parlando del concetto di differenziale.